關注自然生長回歸數學本質

楊劍峰

[摘 要] 教師應正確把握學生知識生成的最近發展區，安排好背景導入，把大題化小，讓學生弄清各個數量間的關聯，讓學生憑借已經建立起來的數量關系或模型，從復雜的問題背景中抽象出知識的關聯，回歸數學本質，順著梯子登階爬墻，自然生長.

[關鍵詞] 自然生長；數學本質；最近發展區

問題提出

（2014山東德州中考題）如圖1，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/時的速度前進，1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時兩艦艇之間的距離.

教學需求分析

1. 適用對象

該題適用于初二學生復習或初三中考復習.

2. 內容分析

本題以直角坐標系為背景進行命題，重點考查了學生對全等三角形的判定、方位角、圖形的旋轉、圖形的翻折等相關基礎知識或技能的掌握. 而初二數學教材中等腰三角形的性質、勾股定理、圖形的旋轉、圖形的翻折（軸對稱）等知識都是初中數學學習的基礎，也是學好圖形與幾何的關鍵和重點. 為此，在復習中有必要把這些知識進行融合，提高學生的應用能力.

3. 目標分析

本題的問題設置有深度，集基礎知識和數學思想方法于一體. 該題在基礎復習或檢測時作為壓軸題，其目的主要是考查學生對圖形的翻折、旋轉或截長補短法的運用. 通過此題解決思路的探討、開發、思考，能幫助學生系統而有效地復習這一部分內容的核心知識；同時能向學生說明，復習必須回歸數學本質，從而達到幫助學生積累并解決問題的活動經驗，以及提高解決幾何綜合題的能力，達到知識的自然生長.

4. 教學理念

教學設計時本著以問題為載體、以活動為依托、以能力培養為導向的原則，盡量讓學生抓住數學本質，促使學生思維的自然生長. 為了落實好梳理與建構、交流與應用的關系，筆者立足于“關注自然生長與回歸數學本質”，進行解題教學.

2. 方法遷移

4. 試題透析

回歸問題提出，即2014年山東德州中考題.

師：圖1能抽取出剛才學習的模型嗎？

生1：能，延長AE，BF，相交于點H，四邊形AOBH就是剛剛探究過的模型，如圖9.

師：題目中滿足哪些條件呢？

生1：∠OBH+∠A=180°，AO=BO，E，F分別是AH，BH上的點，且∠EOF=∠AOB.

師：根據條件，通過怎樣轉化，可求出EF？

生1：將△AEO繞點O順時針旋轉至△BKO，使得OA與OB重合，通過△EFO≌△KFO轉化為EF=AE+BF.

生2：也可以延長HB至點K，使得BK=AE，連接OK，通過證△AOE≌△BOK，△FEO≌△FKO，轉化為EF=AE+BF.

教學分析？搖 通過解讀試題圖形，使學生從中抽取出剛剛刻畫的幾何模型，這對引導學生對試題解法的深入探究意義重大. 教師以問題為載體，搭就學生探究的平臺，讓學生自然生長，自然發展.

5. 延伸發展

如圖10，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF，AG與邊BC的交點分別為D，E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），在旋轉過程中，等式BD2+CE2=DE2始終成立，請說明理由.

師：知識是相互聯系的，在三角形條件中，你會證明嗎？

生3：如圖10，將△ADB繞點A逆時針旋轉，使得AB與AC重合，得△AHC，連接EH. 通過證△ADE≌△AHE，轉化為等式CH2+CE2=HE2，得證.

師：請同學們重新審題，除了旋轉法以外，還有其他方法嗎？

生4：過點C作HC⊥EC，使HC=BD，連接AH，EH，通過全等同樣可證.

師：這就相當于把△ADB繞點A旋轉，與剛才生3的證明大同小異. 繼續探究，看看是否可以借助翻折來證明.

生5：如圖11，將△ABD沿邊AD翻折，得到△AHD，將△ACE沿邊AE翻折，得到△AHE，結論轉化為等式DH2+HE2=DE2，得證.

說明：也可以過點A作AH，使AH=AB，且∠HAD=∠BAD，連接DH，EH. 證△ADB≌△ADH，△AEH≌△AEC，轉化為等式DH2+HE2=DE2，得證.

教學分析 充分探究試題多解，能培養學生的發散性思維，防止學生思維固化. 通過添加不同的輔助線，能讓學生在玩數學的過程中自主探究，解題方法就會自然呈現，自然生長.

6. 拓展練習

教學反思

1. “自然生長”是教學之道

自然就是最美的，數學解題教學亦是如此. 而衡量是否自然，就要看其思路是否順其自然，解法是否干脆利落，表達是否簡潔明快. 蘇東坡的《題西林壁》“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”中強調“橫看”“側看”“遠看”“近看”“高看”“低看”，形象地給我們展示了“自然生長”的精髓. 其特點就是給足其自然生長的時間和空間，讓學生自己對同一個問題從不同的角度、不同的結構形式、不同的相互關系中觀察、思考、整合，重要的是能培養學生細致的觀察力、豐富的聯想力和創造性的思維能力.

“自然生長”可以開闊學生的思路，培養學生的發散性思維及聯想能力. “自然生長”能讓學生學會多角度分析，學會由表及里抓住事物的本質，找出事物之間的內在聯系；學會用不同的知識解決同一個問題，達到對多種知識的融會貫通.

筆者認為，復習課重要的不是“怎么講”，而應該是“怎么引”. 教師不能從分析到總結、從原題到變式一手包辦，應針對教學內容設計一連串的引導問題，引導學生分析，讓學生自己探索、經歷、體會、建構，從而把握知識本質，自然生長.

2. “自然生長”要落實“最近發展區”

數學學科具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，數學學習必須通過思維去把握，去理解數學的實質. 在教學中，教師的講解必須貼近學生的思維發展水平，要遵循學生的思維發展規律，從而提高學生的思維能力，優化學生的思維結構. 自然的解法就是從題目條件出發，跨度不大，容易想到，易于理解. 客觀講，引題的難度已經超出大多數初二年級學生的認知水平，即使中考也只有最后的綜合題可能達到這樣的難度. 所以我們沒必要、也不應該把它放在沒有任何知識鋪墊的情況下呈現在學生面前. 教師要正確把握學生知識生成的最近發展區，安排好背景導入或者把題目適當分解，把大題化小，讓學生弄清各個數量之間存在的等量關系或有關公式，這樣學生就能憑借已經建立起來的數量關系或模型，從復雜的題目背景 圖形中抽象出知識的關聯，就能順著梯子登階爬墻，輕松入門，自然生長.

3. “自然生長”要關注數學本質

數學學習是向學生提供解決社會生活實際問題所必要的數學基礎知識和基本技能. 數學研究的是抽象概念，運用的是抽象方法. 數學思想方法的教學有利于學生對數學本質的整體把握，數學思想方法的學習和領悟能使學生所學的知識不再是零散的知識點，它能幫助學生形成有序的知識鏈，建立良好的知識結構，理解知識本質，提高學生的數學思維水平，建立科學的數學觀，從而發展數學、運用數學、自然生長. 因此，教師教學時要充分考慮到數學思想方法的滲透，幫助學生有效地積累數學基本活動經驗，抓住數學知識本質，從而提高解決綜合題的能力.