基于雙樹復(fù)數(shù)小波的快速二步迭代混合范數(shù)算法

葉潤武 陳晨 劉委 孫旭 高亞紅 孔堯 張鑫晟 孫海威

摘要：以雙樹復(fù)數(shù)小波基為稀疏基，局部哈達(dá)瑪矩陣為觀測矩陣，在IST算法的基礎(chǔ)上提出一種改進(jìn)的快度二步迭代混合范數(shù)算法，目標(biāo)函數(shù)采用混合范數(shù)模型，二步迭代加速了目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化，二步迭代混合范數(shù)算法收斂于混合目標(biāo)函數(shù)的最小值。改進(jìn)的算法重構(gòu)速度高于IST算法的2.5倍，圖像的均方誤差減小50%以上。與以DCT為稀疏基、高斯矩陣為觀測矩陣、快速二步迭代混合范數(shù)算法為重構(gòu)算法的壓縮感知重構(gòu)系統(tǒng)相比，改進(jìn)算法的峰值信噪比提高了約1dB，表明改進(jìn)算法具有更好的圖像重構(gòu)質(zhì)量和重構(gòu)速度。

關(guān)鍵詞：壓縮感知；圖像重構(gòu)；稀疏變換；混合范數(shù)；二步迭代

DOIDOI：10.11907/rjdk.171763

中圖分類號：TP312文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：16727800（2017）010005403

0引言

壓縮感知系統(tǒng)中圖像重構(gòu)是一個求解反問題的過程[13]。該問題可以通過基于0范數(shù)的貪婪算法求解，也可以轉(zhuǎn)化為求解基于1范數(shù)的凸優(yōu)化問題求解。貪婪算法重構(gòu)效果不及凸優(yōu)化算法，但凸優(yōu)化算法計(jì)算復(fù)雜度更高。為了研究更加高效的壓縮感知系統(tǒng)，鑒于貪婪算法重構(gòu)速度快和凸優(yōu)化算法圖像重構(gòu)效果佳的特點(diǎn)，本文提出一種改進(jìn)的混合范數(shù)算法。它是一種以雙樹復(fù)數(shù)小波為變換基，測量矩陣為部分哈達(dá)瑪矩陣的快速二步迭代混合范數(shù)算法，混合范數(shù)模型是建立圖像恢復(fù)的目標(biāo)函數(shù)，二步迭代加速了最小目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化。對于給定參數(shù)，二步迭代混合范數(shù)算法收斂于混合目標(biāo)函數(shù)的最小值。

1雙樹復(fù)數(shù)小波變換

在數(shù)字圖像處理中，小波變換的優(yōu)點(diǎn)在于它能很好地保存圖像的邊緣特性，因此是研究中重點(diǎn)選取的變換。一般的離散小波變換存在平移不變性和方向選擇性較差等缺陷，無法最優(yōu)地表達(dá)圖像邊緣特征。在上述事實(shí)基礎(chǔ)上，Kingsbury[4]等提出了一個新的變換，雙樹復(fù)數(shù)小波變換（簡稱DTCWT），其由于具有多方向性，可很好地減小正交小波變換中的平移不變性，改善方向選擇性，這些良好特性使得DTCWT在眾多領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。

雙樹復(fù)數(shù)小波通過兩個相互平行的小波組成，雙樹復(fù)數(shù)小波的上、下支樹分別是復(fù)數(shù)小波變換的實(shí)部和虛部。雙樹復(fù)數(shù)小波在分解過程中，第1層與其它層所運(yùn)用的濾波器不同。上下支樹采用的是雙正交濾波器，其中一個支樹采用長度為奇數(shù)的高通濾波器，該支樹的采樣序列中點(diǎn)偶對稱；另一支樹采用長度為偶數(shù)的高通濾波器，該支樹的采樣序列中點(diǎn)奇對稱，上下支數(shù)相互交替就產(chǎn)生了復(fù)數(shù)小波變換的實(shí)部和虛部。二維雙樹復(fù)數(shù)小波變換的分解步驟如圖1所示。

其中，小波變換的兩組雙正交濾波器組為h0（n）、h1（n）和g0（n）、g1（n），其可以表示為式（1）：

h1（n）=（-1）nh0（N-n）

g1（n）=（-1）ng0（N-n）（1）

其中，N為濾波器長度。

尺度函數(shù)φh（t）和小波函數(shù)ψh（t）用雙正交濾波器h0（n）和h1（n）表示，如式（2）：

φh（t）=2∑nh1（h）（2t=n）

ψh（t）=2∑nh0（h）（2t=n）（2）

尺度函數(shù)和小波函數(shù)用雙正交濾波器組g0（n）和g1（n）表示，如式（3）：

φh（t）=2∑ng1（h）（2t=n）

ψh（t）=2∑ng0（h）（2t=n）（3）

圖2是利用雙樹復(fù)數(shù)小波變換處理Lena圖像生成的效果圖，其中（a）為Lena原圖，（b）為雙樹復(fù)數(shù)小波處理后的Lena圖。圖2（b）表明，Lena圖經(jīng)過雙樹復(fù)數(shù)小波變換處理后，圖像能量分散到多個方向，涵蓋了圖像的處理細(xì)節(jié)，優(yōu)于傳統(tǒng)的DCT和DWT變換。因此，本文選擇雙樹復(fù)數(shù)小波基構(gòu)建高性能的壓縮感知重構(gòu)系統(tǒng)。

2快速二步迭代混合范數(shù)算法

本文提出一種新的快速二步迭代混合算法，從觀測信號y中恢復(fù)x，A是一個線性算子。研究混合范數(shù)模型和二步迭代算法的主要理論，再結(jié)合迭代收縮閾值算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真并給出實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

2.1混合范數(shù)算法流程

改進(jìn)算法模型結(jié)構(gòu)如圖3所示，原始圖像在傳輸過程中，通常會被噪聲干擾，使用混合范數(shù)模型構(gòu)建圖像修復(fù)模型，生成待求解的目標(biāo)函數(shù)，通過二步迭代算法求解混合范數(shù)重構(gòu)問題，當(dāng)條件滿足時能很精確地恢復(fù)出原始圖像。

圖像重構(gòu)是一個基于最小混合范數(shù)的問題，線性算子是一個單位矩陣，F(xiàn)定義為圖像恢復(fù)的目標(biāo)函數(shù)：

f=arg min12‖Ax-y‖2F+λ·H（x）（4）

在混合范數(shù)模型中，正則化矩陣H（x）可以等價(jià)于L0范數(shù)，它平衡了L0范數(shù)和L1范數(shù)。

2.2混合范數(shù)模型

給定信號稀疏信號x和測量矩陣A，重構(gòu)問題可以描述為：

min H（x）s.t.Ax=y（5）

其中，H（·）為混合范數(shù)。

混合范數(shù)模型可定義為：

H（x）=∑Ωg（x）（6）

g（u）=a|u|τ，|u|<τ

||u|-b|||u|-b|+ε，|u|≥τ（7）

其中，H（·）是上述方法中提到的混合算子。在|u|=τ時，a和b是常量，為確保函數(shù)連續(xù)可微。參數(shù)τ是一個閾值，且有0<τ<1，函數(shù)g與參數(shù)τ有關(guān)。ε>0防止了混合范數(shù)函數(shù)在交點(diǎn)處的不可微性。混合范數(shù)函數(shù)描述如圖4所示，通過圖4可以方便地理解和比較L1、L0、Lp（0

如圖4所示，對于任意給定值ε和τ，混合范數(shù)函數(shù)曲線可由兩部分組成。第一部分曲線，當(dāng)u的絕對值較小時，混合范數(shù)曲線的斜率大于L1范數(shù)；第二部分曲線比較靠近L0范數(shù)，這部分曲線由常數(shù)ε控制。當(dāng)a和b滿足上文等式，混合范數(shù)兩部分之間的曲線是光滑可微的。對于L1范數(shù)曲線，在R+上是嚴(yán)格的凸函數(shù)。通過稀疏重構(gòu)可以獲得唯一的精確解。在靠近L0的部分，可以通過稀疏重構(gòu)求解。混合范數(shù)模型結(jié)合了L0范數(shù)和L1范數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，保持了重構(gòu)的穩(wěn)定性和精確性；并且，混合范數(shù)曲線是光滑連續(xù)的。

特殊情形下，當(dāng)τ=1時，混合范數(shù)模型函數(shù)等價(jià)于L1范數(shù)函數(shù)；當(dāng)τ=0時，混合范數(shù)問題等價(jià)于一個L0范數(shù)問題。對于任意的0<τ<1，混合范數(shù)混合了L0范數(shù)和L1范數(shù)的特征。給定值τ能夠控制L0范數(shù)和L1范數(shù)對混合范數(shù)的貢獻(xiàn)程度。τ越大，混合范數(shù)函數(shù)越接近于凸函數(shù)，函數(shù)最小值具有更好的收斂性。τ越小，越容易求得函數(shù)的精確解，因?yàn)榛旌戏稊?shù)更接近于L0范數(shù)。因此，一個最優(yōu)化的τ是介于L0和L1范數(shù)之間的。

2.3二步迭代算法

由IST算法發(fā)展而來的二步迭代算法，其求解線性逆問題更加快速高效。在求解圖像逆問題中，二步迭代算法[5]常常被用來解決高維的凸優(yōu)化問題。在k+1次迭代中，二步迭代算法的迭代過程如式（8）所示。

x1=Γλ（x0）

xk+1=（1-α）xk-1+（α-β）xk+β

Γλ（x）=Ψλ{(lán)x-A*（A（x）-y）}（8）

其中，Фλ是雙樹復(fù)數(shù)小波變換下的一個去噪算子，A*是A的伴隨矩陣，α和β是兩個參數(shù)。二步算法的收斂性已得到證明，具體證明步驟參考文獻(xiàn)[67]。混合范數(shù)重構(gòu)問題可以通過二步迭代算法求解。

3實(shí)驗(yàn)及分析

通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證二步迭代混合范數(shù)算法的圖像恢復(fù)質(zhì)量和收斂速度，并測試算法的有效性，通過對比IST算法和改進(jìn)算法評價(jià)改進(jìn)算法優(yōu)勢。文中觀測矩陣為局部哈達(dá)瑪矩陣，稀疏基為雙樹復(fù)數(shù)小波基。實(shí)驗(yàn)將高斯核函數(shù)作為模糊算子，函數(shù)窗口大小為9*9，添加噪聲均值為0、方差為0.31（PSNR=40dB）的高斯白噪聲。

觀測圖像為256*256的boat圖，不同稀疏基和測量矩陣的重構(gòu)算法實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

從圖像視覺效果看，改進(jìn)算法的視覺效果優(yōu)于快速IST算法和IST算法，以雙樹復(fù)數(shù)小波基為稀疏基，局部哈達(dá)瑪矩陣為測量矩陣的壓縮感知圖像重構(gòu)系統(tǒng)的圖像重構(gòu)質(zhì)量要優(yōu)于以DCT為稀疏基，高斯隨機(jī)矩陣為測量矩陣的壓縮感知圖像重構(gòu)系統(tǒng)。

由表1可知，本文算法的圖像重構(gòu)質(zhì)量要優(yōu)于快速的IST算法和IST算法，重構(gòu)速度遠(yuǎn)快于IST算法，僅比快速的IST算法慢5s。以雙樹復(fù)數(shù)小波為稀疏基，局部哈達(dá)瑪矩陣為測量矩陣的重構(gòu)算法的圖像重構(gòu)質(zhì)量要優(yōu)于以DCT為稀疏基，以高斯隨機(jī)矩陣為測量矩陣的重構(gòu)算法，但是圖像重構(gòu)時間有所增加。

4結(jié)語

本文在雙樹復(fù)數(shù)小波基和局部哈達(dá)瑪矩陣的基礎(chǔ)上，綜合凸優(yōu)化算法重構(gòu)精度高和貪婪算法重構(gòu)速度快的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種快速的二步迭代混合范數(shù)算法。該算法具有貪婪算法快速的重構(gòu)速度和凸優(yōu)化算法良好的重構(gòu)精度，特別是當(dāng)圖像的稀疏度不夠時，改進(jìn)算法的重構(gòu)圖像清晰度更高、性能更優(yōu)異。在相同觀測矩陣和測量矩陣下，快速二步迭代混合范數(shù)算法的重構(gòu)效果要優(yōu)于IST算法和FIST算法。

參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)：

[1]TAMURA M，YAN H，ZEGARRAMORO O，et al.Digital image Restoration[J].Journal of Molecular Histology，2008，39（4）：3518.

[2]BERTERO M，BOCCACCI P.Introduction to inverse problems in imaging[M].Institute of Physics Pub，1998.

[3]BANHAM M R，KATSAGGELOS A K.Digital image restoration[J]. IEEE Transactions onAcoustics Speech & Signal Processing，1977，14（2）：2441.

[4]SELESNICK I W，BARANIUK R G，KINGSBURY N G.The dualtree complex wavelet transform[J].IEEE Signal Processing Magazine，2005，22（6）：123151.

[5]BIOUCASDAS，JFIGUEIREDO M. A new twist：two step iterative shrinkage/thresholding algorithms for image restoration[J].Image Process，2007，16（12）：29923004.

[6]BIOUCASDAS，JFIGUEIREDO M. A new twist：two step iterative shrinkage/thresholding algorithms for image restoration[J].Image Process，2007，16（12）：29923004.

[7]BIOUCASDIAS J M，F(xiàn)IGUEIREDO M A T.Twostep algorithms for linear inverse problems with nonquadratic regularization[C].IEEE International Conference on Image Processing，2007：105108.

責(zé)任編輯（責(zé)任編輯：孫娟）endprint